一、電和磁到底有沒有關(guān)系？——奧斯特：電流的磁效應(yīng)

二、電如何產(chǎn)生磁？——安培定律

三、磁如何產(chǎn)生電？——法拉第電磁感應(yīng)定律

四、什么是B-H曲線

五、什么是永磁同步電機(jī)

5.1 電機(jī)原理的通俗理解

5.2 電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

5.2.1 磁鏈方程

5.2.2 電壓方程

5.2.3 力矩方程

5.3 DQ坐標(biāo)系下三大方程

六、什么是電壓極限圓和電流極限(橢)圓

七、旋轉(zhuǎn)磁場是如何產(chǎn)生的

工程問題本質(zhì)上是解決兩個(gè)“流”的問題，一個(gè)是“信息流”，另一個(gè)是“動(dòng)力流”。我們前面說到的自動(dòng)控制，信號處理其實(shí)都屬于“信息流”的范疇，解決的是大腦和神經(jīng)的問題，而“動(dòng)力流”，則是要解決肌肉問題。只有兩個(gè)“流”處理好了，才能做出一個(gè)成功的工程。今天，我們就來說一說“動(dòng)力流”的核心部件之一——電機(jī)。

電機(jī)（Electrical Machine）本質(zhì)是一個(gè)能量轉(zhuǎn)換裝置（電能和機(jī)械能互換），包括電動(dòng)機(jī)和發(fā)電機(jī)。工業(yè)中電動(dòng)機(jī)更常見一些，因此狹義的電機(jī)通常是指電動(dòng)機(jī)。

那磁鐵和永磁電機(jī)有什么關(guān)系呢？——永磁電機(jī)就是利用磁鐵制作的電機(jī)，只不過磁鐵這個(gè)名字不夠高大上，專業(yè)術(shù)語一般叫“永磁體”。電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象人類早就已經(jīng)了解，但是直到19世紀(jì)，電學(xué)和磁學(xué)的研究仍處于很基礎(chǔ)的階段，而且絕大多數(shù)物理學(xué)家都認(rèn)為電和磁是兩種完全不同的現(xiàn)象。第一次工業(yè)革命后期，電磁學(xué)才逐漸合體并開始蓬勃發(fā)展起來，并催生了第二次工業(yè)革命——電力革命，這其中貢獻(xiàn)較大的有這么幾個(gè)人：奧斯特、安培以、法拉第以及高斯等，他們較重要的的工作都完成于1820年至1831年，最后由開了掛的麥克斯韋進(jìn)行了總結(jié)并提出了完整的電磁理論。電機(jī)的基本理論和工程實(shí)現(xiàn)基本都是在這一時(shí)期成型的，因此要想學(xué)習(xí)電機(jī)，了解基本的電磁理論發(fā)展過程是非常有必要的。

一、電和磁到底有沒有關(guān)系？——奧斯特：電流的磁效應(yīng)

19世紀(jì)以前，人們一直以為電與磁勢完全不同的現(xiàn)象，沒有什么聯(lián)系，雖然有一些零星的物理現(xiàn)象暗示它們之間似乎有一些說不清道不明的關(guān)系。直到1820年7月，丹麥的物理學(xué)家奧斯特（H.C.Oersted，1777-1851）發(fā)表了一篇文章《關(guān)于磁針上電流碰撞的實(shí)驗(yàn)》，向科學(xué)界宣布了電流的磁效應(yīng)——電和磁其實(shí)是一對CP。

奧斯特的論文起源于一個(gè)很偶然的實(shí)驗(yàn)——在電池的兩極之間接上一根很細(xì)的鉑絲，在鉑絲的下方放置一枚磁針，然后接通電源，很正常的操作，貌似沒什么，但是現(xiàn)象卻很令人吃驚——小磁針轉(zhuǎn)動(dòng)了，一直轉(zhuǎn)到鉑絲垂直的方向，改變電流方向，又發(fā)現(xiàn)小磁針向相反方向偏轉(zhuǎn)。

奧斯特的發(fā)現(xiàn)揭示了長期以來認(rèn)為性質(zhì)不同的電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系，電磁學(xué)立即進(jìn)入了一個(gè)嶄新的發(fā)展時(shí)期，法拉第后來評價(jià)這一發(fā)現(xiàn)時(shí)說：“它猛然打開了一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的大門，那里過去是一片漆黑，如今充滿光明?！比藗?yōu)榱思o(jì)念這位博學(xué)多才的科學(xué)家，從1934年起用“奧斯特”的名字命名磁場強(qiáng)度的單位。

奧斯特可能怎么也沒有料到，從1820年7月發(fā)表電流的磁效應(yīng)的文章后，僅僅經(jīng)歷了四個(gè)多月時(shí)間，電磁學(xué)就經(jīng)歷了從現(xiàn)象的總結(jié)到理論的歸納一次大飛躍，從而開創(chuàng)了電動(dòng)力學(xué)的理論。而推動(dòng)這一發(fā)展的，是一個(gè)我們非常熟悉的人—— 安培。

二、電如何產(chǎn)生磁？——安培定律

前面我們說到，能斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果強(qiáng)烈震撼到了安培——一個(gè)被稱之為“電學(xué)中牛頓”的大神。 安德烈·瑪麗·安培（André-Marie Ampère，1775 — 1836）出生于法國里昂，是我們學(xué)物理學(xué)的較早認(rèn)識(shí)的科學(xué)家之一，因?yàn)殡娏鞯膯挝痪褪恰鞍才唷薄?/p>

200年前的科學(xué)界和現(xiàn)在也差不多，那就是一個(gè)熱點(diǎn)文章發(fā)表后，總有一大群人蜂擁上來，發(fā)表灌水文章。安培在看到奧斯特的電流的磁效應(yīng)的文章后，也立馬開始了這一熱點(diǎn)領(lǐng)域的研究。顯然安培不屬于灌水的這一類人，因?yàn)樗徊蠲麣夂吐曂?，?qū)使他前進(jìn)的，是他對自然規(guī)律的好奇心。

安培通做電流做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)長直導(dǎo)線外，到導(dǎo)線距離相等的點(diǎn)，“磁場”大小相同；距離不同的點(diǎn)，“磁場”大小隨著距離成反比；“磁場”和電流大小以及導(dǎo)線的根數(shù)也成正比。我們不妨用 字母 來表示“磁場”的大小，則很容易得到：

或者更任性一點(diǎn)，我們可以定義沿半徑為 的圓上，其“磁場”大小為：

當(dāng)然，安培是不會(huì)滿足于到此為止的，因?yàn)檫@實(shí)在算不上的什么重大發(fā)現(xiàn)——那不是圓怎么辦，如果是任意曲線呢？——安培偉大的地方在于，他還真的將“圓”擴(kuò)展到了任意曲線上。

安培定律完整的表述為：在恒定電流的磁場中，磁場強(qiáng)度 沿任何閉合路徑 （即環(huán)路積分）的線積分等于其所包圍的電流強(qiáng)度的代數(shù)和，寫成數(shù)學(xué)的樣子就是：

這個(gè)公式暗含一個(gè)結(jié)論，那就是 磁場是由運(yùn)動(dòng)的電荷（即電流）產(chǎn)生的，安培認(rèn)識(shí)到磁現(xiàn)象的本質(zhì)是電流 ，把涉及電流、磁體的各種相互作用歸結(jié)為電流之間的相互作用，提出了尋找電流元相互作用規(guī)律的基本問題。因此在電磁學(xué)中，把產(chǎn)生磁場的電流也叫 磁動(dòng)勢或磁勢（Magnetomotive Force），簡寫為MMF，注意這是一個(gè)非常重要的概念，很多我們熟悉的磁場，都可以應(yīng)用安培環(huán)路定理來計(jì)算。

三、磁如何產(chǎn)生電？——法拉第電磁感應(yīng)定律

法拉第（Michael Faraday，1791-1867），英國的物理學(xué)家。法拉第可以說是實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家的代表，一生做了無數(shù)次的實(shí)驗(yàn)，遍布整個(gè)電磁學(xué)領(lǐng)域，其中較具代表性的，就是電磁感應(yīng)定律了：磁通量變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。

電磁感應(yīng)定律的定量描述為：線圈中感應(yīng)的電動(dòng)勢（Electromotive Force），簡稱EMF，與每匝線圈中磁通量的變化率以及匝數(shù)成正比，寫成公式就是：

那么，問題就來了——什么是磁通量？其基本定義是：

簡單來說就是磁通密度乘以面積，面積好理解，那磁通密度是什么？——與電場強(qiáng)度 是由單位點(diǎn)電荷受電場力類似，磁通密度可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中所受到的磁場力來定義。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：一個(gè)電荷 以速度 在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)，會(huì)受到電磁力 ，這個(gè)力和磁場的強(qiáng)弱是成正比的，即：

這個(gè)公式是洛倫茲公式的簡化版，也就說，我們可以通過電荷大小、運(yùn)動(dòng)速度以及所受到的力來反推周圍磁場的大小，這個(gè)磁場的大小就是磁通密度，也叫磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位是特斯拉（Tesla）。注意，磁通密度是電機(jī)中較重要的概念之一。

四、什么是B-H曲線

細(xì)心的童鞋會(huì)發(fā)現(xiàn)一些端倪：

在介紹安培環(huán)路定理的時(shí)候，我們說電流可以產(chǎn)生磁場，磁場的大小可以用 來表示：

在介紹法拉第電磁感應(yīng)定律的時(shí)候，我們又說可以通過受力，來計(jì)算電荷感受到的磁場 。

都是磁場，為啥用兩個(gè)量表示？他們是一回事嗎？——首先，可以明確一點(diǎn)，這倆貨量綱都不一致，肯定不是一回事。

我們一般把磁場密度 與磁場強(qiáng)度 之間的比值稱之為磁導(dǎo)率：

磁導(dǎo)率描述的是電荷感受的磁場（輸出）與電流產(chǎn)生的磁場（輸入）的比值，描述前者隨著后者的響應(yīng)。既然是響應(yīng)，就會(huì)有幅值響應(yīng)和相位響應(yīng)，所以本質(zhì)上，磁導(dǎo)率是一個(gè)復(fù)數(shù)，只不過呢，在電機(jī)里面都是工作在低頻段，相位滯后很小，可以忽略，一般只看幅值關(guān)系。

為什么介質(zhì)中磁場輸入和輸出不一樣呢？——因?yàn)榻橘|(zhì)有了響應(yīng)。我們現(xiàn)在設(shè)想通過電流 ，把磁場 加到某種材料當(dāng)中，材料中的帶電粒子受到磁場的響應(yīng)，進(jìn)而產(chǎn)生了一些附加磁場，在該點(diǎn)處的總磁場不再是 了。受外界磁場影響使得材料里也有內(nèi)部額外磁場的過程，叫做“磁化”。

Source: Dr. Cox

簡而言之， 是外部的激發(fā)場， 是總的響應(yīng)場，在電機(jī)里面，這兩個(gè)量都非常重要，因?yàn)殡姍C(jī)就是要考察電壓、電流以及力矩之間的關(guān)系，而：

電流和 相關(guān)；

力矩和 相關(guān)；

因此，理解 和 的關(guān)系，是學(xué)習(xí)電機(jī)的一個(gè)非常必要的知識(shí)點(diǎn)。

現(xiàn)在假設(shè)我們用一個(gè)正弦的電流對介質(zhì)進(jìn)行磁化，電流（代表 ）變化如左下圖，得到介質(zhì)中總的磁場（ ）為右下圖：

Source:Dr. Cox

其中， 表示剩余磁通密度（Remanent Flux Density），簡稱剩磁； 表示矯頑力（Coercive Force），可見 和 并不是一個(gè)簡單的線性關(guān)系，呈現(xiàn)出一個(gè)滯環(huán)，一般稱之為磁滯曲線。

不同的材料代表不同的介質(zhì)，其磁滯回線也不一樣，如下圖所示：

Source: Dr. Cox

有的材料滯環(huán)較寬，也就是當(dāng)勵(lì)磁電流減為零后，總的磁場 仍保持在一個(gè)較大的值，我們稱之為硬磁材料或永磁體。

有的材料滯環(huán)較窄，也就是當(dāng)勵(lì)磁電流減為零后，總的磁場 也基本減小到零，我們稱之為軟磁材料或?qū)Т朋w。

五、什么是永磁同步電機(jī)

1821年，法拉第制作了一個(gè)裝置，這個(gè)裝置能將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能，被認(rèn)為是 世界上第一臺(tái)電動(dòng)機(jī)。

法拉第的裝置的組成非常簡單：將水銀注入一個(gè)圓形容器里面，中間放置一塊永磁體，一根長的導(dǎo)線一端懸掛，另一端浸入容器里的水銀里面，最后再外接一個(gè)直流電源。原理也很簡單，永磁體產(chǎn)生的磁場與導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場相互作用，產(chǎn)生一個(gè)使導(dǎo)線繞軸旋轉(zhuǎn)的力。法拉第的天才之處在于想到了用水銀（常溫液體，有良好的導(dǎo)電性）解決了電機(jī)連續(xù)旋轉(zhuǎn)的所需要的換向問題。

法拉第的電機(jī)驗(yàn)證了機(jī)電能量轉(zhuǎn)換可以連續(xù)進(jìn)行的，為電機(jī)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然現(xiàn)代電機(jī)和法拉第的電機(jī)模型有了較大的區(qū)別，但原理都是完全一致的：都是兩個(gè)磁場相互作用。

5.1 電機(jī)原理的通俗理解

我們從小學(xué)就知道，磁鐵分N極和S極，磁力線從N極出發(fā)，最后回到S極；磁鐵同極相斥，異極相吸。磁鐵磁極之間的相互作用示意圖如下：

利用磁極之間的相互作用力，理論上我們可以移動(dòng)一個(gè)磁極，讓另外一個(gè)磁極跟著運(yùn)動(dòng)，如果第一個(gè)磁極旋轉(zhuǎn)的話，另一個(gè)磁極也會(huì)跟著旋轉(zhuǎn)。但是這樣無法稱之為電機(jī)，因?yàn)樾D(zhuǎn)一個(gè)磁極需要的是機(jī)械能，這樣本質(zhì)上是機(jī)械能之間的轉(zhuǎn)換，不是電能和機(jī)械能之間的轉(zhuǎn)換。那怎么辦呢？

安培定律告訴我們，磁場本質(zhì)是由電流產(chǎn)生的，我們想要的是磁場之間的相互作用，因此主要有電流即可，一個(gè)很自然的想法就是：能不能將兩個(gè)磁場中的一個(gè)用線圈來產(chǎn)生呢？——當(dāng)然可以，永磁同步電機(jī)就是這么干的，具體見下圖：

我們一般將永磁體放在轉(zhuǎn)子上，定子是一個(gè)線圈，線圈通電后，也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)磁場。根據(jù)我們的直觀感覺，很容易得出如下結(jié)論：

當(dāng)兩個(gè)磁場軸線正對著的時(shí)候（上圖左），磁場之間有相互吸引力，這個(gè)力是徑向的，不會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。

當(dāng)兩個(gè)磁場軸線有一定夾角的時(shí)候（上圖中），磁場之間有相互吸引力，但是這個(gè)力既有徑向分量，也有切向分量，因此會(huì)產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)矩。

當(dāng)兩個(gè)磁場軸線垂直的時(shí)候（上圖右），磁場之間有相互吸引力，但是這個(gè)力主要是切向分量，因此產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩較大。

可以做出如下猜想：對于旋轉(zhuǎn)電機(jī)而言，由于其轉(zhuǎn)矩是由兩個(gè)磁場相互作用產(chǎn)生的，因此：

轉(zhuǎn)矩的大小應(yīng)該和兩個(gè)磁場的大小是正相關(guān)的，磁場越強(qiáng)，轉(zhuǎn)矩應(yīng)該越大；

轉(zhuǎn)矩的大小和兩個(gè)磁場之間的夾角是正相關(guān)的，夾角為零時(shí)轉(zhuǎn)矩為零，夾角90°時(shí)轉(zhuǎn)矩較大。

這些都是定性分析，對于工程師而言，我們需要的是定量的計(jì)算，那怎么算呢？

我們知道，數(shù)學(xué)中的叉乘運(yùn)算 描述的是什么東西呢？——叉乘的結(jié)果和兩個(gè)量的幅值成正比，和夾角正相關(guān)，這怎么和磁場產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的那么相像，那是不是可以可以用叉乘來計(jì)算兩個(gè)磁場相互作用產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩呢？

磁場的本質(zhì)是電流產(chǎn)生的，產(chǎn)生磁場的電流又叫磁動(dòng)勢，假如我們膽子更大一點(diǎn)，是不是可以進(jìn)一步猜想：

其中 表示線圈磁動(dòng)勢， 表示永磁體磁動(dòng)勢。

也就是說 電機(jī)轉(zhuǎn)矩和線圈磁動(dòng)勢與永磁體磁動(dòng)勢的叉乘成正比。這么想是合理的，后面我們會(huì)有證明。

當(dāng)然，真正的電機(jī)是不會(huì)直接拿線圈和永磁體直接相吸的，這樣效率太低，一般是將線圈繞在磁軛上，磁軛是軟磁體，起著導(dǎo)磁的作用，如下圖所示。

5.2 電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

電機(jī)就是一個(gè)能量轉(zhuǎn)換裝置，將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能，轉(zhuǎn)換路徑是電能 電磁能 機(jī)械能，要分析這個(gè)過程，其實(shí)就是解決三個(gè)方程的問題：

磁路分析——磁鏈方程

電路分析——電壓方程

機(jī)械分析——轉(zhuǎn)矩方程

下面我們就按照這個(gè)思路，看看如何分析一個(gè)永磁同步電機(jī)。

我們前面說了，電機(jī)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩就是兩個(gè)磁場相互作用，當(dāng)個(gè)磁場都在連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，就產(chǎn)生了一個(gè)固定的旋轉(zhuǎn)力矩。要產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的磁場，就要有“旋轉(zhuǎn)”的電流；要產(chǎn)生“旋轉(zhuǎn)”的電流，就要有“旋轉(zhuǎn)”的電壓；同時(shí)旋轉(zhuǎn)的磁場還會(huì)產(chǎn)生“旋轉(zhuǎn)”的磁鏈，其示意圖如下：

可以把電壓、電流以及磁鏈都看成是 旋轉(zhuǎn)的矢量，其轉(zhuǎn)速完全一致，相位不同。數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

電壓矢量 ：

電流矢量 ：

磁鏈?zhǔn)噶?：

文章中，我們把旋轉(zhuǎn)的矢量用 加粗帶箭頭的符號表示，把矢量用只 帶箭頭的符號表示。電壓、電流以及磁鏈雖然以相同的速度在旋轉(zhuǎn)，但是其相位還是有差別的，因此，我們有必要定義一個(gè)基準(zhǔn)，把這個(gè)相位信息表達(dá)出來。在電機(jī)里面，為體現(xiàn)逼格，我們一般不叫xy軸，而是把永磁體所在的軸線稱之為d軸（Direct Axis），也叫直軸，垂直于永磁體的軸線稱之為q軸（Quadrature Axis），也叫交軸。d軸和q軸相差90°電角度，示意圖如下：

至于什么是電角度，我們后面會(huì)說。

5.2.1 磁鏈方程

磁鏈表征著磁場的信息，對于永磁電機(jī)而言，轉(zhuǎn)子一般是永磁體，所以只對定子線圈進(jìn)行磁鏈計(jì)算即可。我們知道線圈磁鏈計(jì)算公式為：

是通過單個(gè)線圈的磁通， 是線圈的總匝數(shù)。

電機(jī)中的磁場來源可以分成兩部分，一部分是線圈是產(chǎn)生的，另一部分是永磁體產(chǎn)生的。即：

其中 為線圈自身產(chǎn)生的磁鏈， 為永磁體產(chǎn)生的磁鏈。其向量圖如下圖所示。

對于線圈而言，專門有一個(gè)量來表征線圈自身產(chǎn)生磁鏈的能力—— 電感，單位為亨利（H），

電感定義為：

即單位電流產(chǎn)生的磁鏈，電感和電阻類似，雖然是通過磁鏈和電流來定義和計(jì)算的，但是其本質(zhì)是由磁路的物理結(jié)構(gòu)決定的，與電流沒有關(guān)系（除非電流引起磁路飽和，相當(dāng)于改變了磁路的物理結(jié)構(gòu)）。

因此線圈產(chǎn)生的磁鏈可以表示為：

永磁體在線圈產(chǎn)生的磁鏈為：

5.2.2 電壓方程

電機(jī)中磁路主要研究磁鏈方程，而電路主要研究電壓平衡方程。忽略電機(jī)中的鐵損及漏磁等，對于定子線圈，模型可簡化成下圖所示：

很容易得出：電路的外電壓等于電阻損失電壓與線圈感應(yīng)電壓之和，寫成數(shù)學(xué)形式為：

將線圈的磁鏈分解成線圈電流產(chǎn)生磁鏈以及永磁體產(chǎn)生磁鏈：

其中：

假設(shè)磁路均勻，即電感是常值，令 ，稱之為同步電抗，則：

永磁體產(chǎn)產(chǎn)生的感應(yīng)電勢為：

此處也假設(shè)磁路均勻，則定子線圈總的感應(yīng)電勢為：

不難發(fā)現(xiàn)： 存在是因?yàn)榫€圈中電流變化，導(dǎo)致了 變換而其引起的，其大小可用電感來表征，因此稱之為 感生電勢或者是變壓器電勢； 存在是因?yàn)橛来朋w產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場導(dǎo)致了線圈有效面積 發(fā)生改變而引起的，因此稱之為 動(dòng)生電勢或反電動(dòng)勢。線圈中總的感應(yīng)電勢即是 感生電勢和動(dòng)生電勢之和。

電壓平衡方程的矢量形式為：

畫成相量圖的形式為：

圖中 為動(dòng)生電勢（反電動(dòng)勢）， 為感生電勢（電感電勢）。

注意：所有的相量都在旋轉(zhuǎn)。

我們前面定義了：

電壓矢量 ：

電流矢量 ：

磁鏈?zhǔn)噶?：

將上式代入電壓平衡方程可得：

對應(yīng)的等效電路圖為：

5.2.3 力矩方程

力矩是電機(jī)設(shè)計(jì)及控制中非常核心的一個(gè)量，一把書上要么是直接給出方程，要么是從能量轉(zhuǎn)換的角度推導(dǎo)出，要么太粗暴，要么太復(fù)雜，都不太容易理解，今天，我們從能量守恒的角度來看一下，希望能減輕一下各位童鞋的負(fù)擔(dān)。

電機(jī)，本質(zhì)是一個(gè)能量轉(zhuǎn)換裝置，對于電動(dòng)機(jī)來說，就是將電能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能。在復(fù)平面域，計(jì)算出的功率稱之為 復(fù)功率，與實(shí)數(shù)領(lǐng)域直接相乘略有不同，復(fù)平面對應(yīng)的是電壓相量與電流相量的 內(nèi)積：

代入電壓平衡方程可得：

根據(jù)內(nèi)積的定義 ,這樣就可以得到電機(jī)進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換時(shí)的 復(fù)功率：

方程的左邊就是流入電機(jī)的瞬時(shí)功率，這個(gè)比較好理解，我們著重分析一下方程右邊的兩項(xiàng)分別代表什么意思。

第一項(xiàng)： 代表著電阻 在電流 下產(chǎn)生的功率，這個(gè)比較好理解，可以看成是熱損耗，電機(jī)中繞組由于大都是銅線繞指的，一般也叫銅損，較終損耗掉了。

第二項(xiàng)： ，

由復(fù)數(shù)的計(jì)算規(guī)則：

進(jìn)一步化簡可得：

我們知道，對于 復(fù)功率而言， 實(shí)部是有功功率， 虛部是無功功率。取這一項(xiàng)的實(shí)部即為有功功率，所以：

這個(gè)式子看著有點(diǎn)嚇人，但是化簡一下就簡單明了了：

上式的右邊看著是不是有什么規(guī)律呢？——

所以較終的有功功率非常簡單：

式中 表示叉乘后的方向（含全面的符號），加上它是為了形式上一致，因?yàn)辄c(diǎn)乘后標(biāo)量，叉乘后是矢量。

知道了有功功率，這個(gè)時(shí)候我們就很容易計(jì)算轉(zhuǎn)矩了，假定轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速是 ,則轉(zhuǎn)子上的力矩為：

其中 為極對數(shù)，這一塊很多童鞋是由迷惑的，我們說 為電角度， 為機(jī)械角度，它倆到底有什么關(guān)系？什么時(shí)候用電角度？什么時(shí)候用機(jī)械角度？

我們前面舉例子時(shí)一般都是一對極，這樣沿機(jī)械一周，電信號也變化一個(gè)周期，此時(shí)機(jī)械角度與電角度相同，即 ；當(dāng)極對數(shù) 大于1時(shí)，這樣沿機(jī)械一周，電信號就會(huì)變化 個(gè)周期。下圖給出了3對極和6對極時(shí)每個(gè)機(jī)械周期內(nèi)（360°）電信號變化的情況。

可見， 。

由于

所以力矩還可以寫成：

由于 ，所以轉(zhuǎn)矩還可以寫成：

前面我們猜測：

在這里也可以得到證明，因?yàn)?， 。

5.3 DQ坐標(biāo)系下三大方程

前面我們所有的三大方程（磁鏈、電壓、轉(zhuǎn)矩）都是用矢量來表示的，形式是相當(dāng)簡潔的，但是考慮到大多人還是習(xí)慣標(biāo)量的表示方法，而且矢量運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中也不容易實(shí)現(xiàn)，所以大多數(shù)教材上一般都是給出標(biāo)量形式下的電機(jī)三大方程。

我們首先將電壓、電流及磁鏈?zhǔn)噶客队暗絛q坐標(biāo)系上：

帶入到原始旋轉(zhuǎn)矢量方程：

代入電壓平衡方程可得：

化簡可得：

則通過簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，很容易得到 坐標(biāo)下標(biāo)量形式的 磁鏈方程 ：

坐標(biāo)下標(biāo)量形式的 電壓方程 ：

畫成相量圖的形式如下：

坐標(biāo)下矢量的 力矩方程 ：

標(biāo)量形式 力矩方程為：

進(jìn)一步變形：

這就是教科書上較常見的形式了，這表明：永磁同步電機(jī)的力矩包含兩個(gè)部分，一是 ，這是由永磁體產(chǎn)生的力矩，一般稱之為 勵(lì)磁力矩或?qū)R力矩（Alignment Torque）；另一部分 是由于磁路上磁阻不均勻（ ）引起的，所以稱之為 磁阻力矩，如果磁路交直軸磁阻相等，則這部分力矩消失。

Source: Dr. Galea

將 、 用電流幅值及角度進(jìn)行表示，輸出轉(zhuǎn)矩為：

上式對 求導(dǎo)，并取導(dǎo)數(shù)為零，即可以得到轉(zhuǎn)矩取極值時(shí)對應(yīng)的 值：

，其中

上式中，位移的未知量是 ，也就說有了測量到了電流值，就可以計(jì)算出 ，從而獲得較大的轉(zhuǎn)矩——這就是較大轉(zhuǎn)矩比電流控制（Maximum Torque per Ampere），簡稱MTPA。

六、什么是電壓極限圓和電流極限(橢)圓

我們令：

前面我們介紹了 坐標(biāo)下電壓方程為：

現(xiàn)在我們考慮穩(wěn)態(tài)時(shí)情況，先忽略電阻 （通常比較?。€(wěn)態(tài)時(shí) 、 不再變化，因此電壓平衡方程可以簡化為：

為簡單起見，先假定 則：

Source: Dr. Galea

其中綠色為電壓極限圓，紅色為電流極限圓。電機(jī)的電壓是由逆變器提供的，是有限制的，也就是說 ，很顯然能得出以下幾個(gè)結(jié)論：

電壓極限圓不是正好在電流坐標(biāo)系的中心，偏置為 ;

轉(zhuǎn)速越高，電壓圓的半徑越?。?/p>

電機(jī)必須工作在電壓圓與電流圓同時(shí)覆蓋的區(qū)域（截面線示意的部位）

當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速很低時(shí)，電壓極限圓很大，電流極限是其主要約束，因此低速下電流可以一直保持在 為較大值狀態(tài)，此時(shí)稱之為恒轉(zhuǎn)矩區(qū)，如下圖所示的T1區(qū)。當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升時(shí)，電壓和電流極限圓都成為約束，兩者的交點(diǎn)處為工作點(diǎn)，如下圖的T2和T3區(qū)， 開始出現(xiàn)分量，此時(shí)成為弱磁狀態(tài)，即永磁體產(chǎn)生的磁場被 產(chǎn)生的磁場削弱了，進(jìn)而在同樣的電壓下能夠產(chǎn)生更高的轉(zhuǎn)速。

Source: Dr. Galea

上面討論的是 （即隱極）的情況，當(dāng) 時(shí)，電壓方程變?yōu)椋?/p>

電壓極限圓變成了電壓極限橢圓，如下圖所示：

Source: Dr. Galea

當(dāng)電機(jī)做好之后， ，因此任意的 、 都會(huì)對應(yīng)一個(gè)力矩值，我們把力矩相同的之用線連起來就得到一族等力矩曲線，如下圖的三條黑色的等力矩線。

Source: Dr.Galea

同一個(gè)等力矩的曲線會(huì)和不同的 電流圓相切 ，產(chǎn)生一系列的切點(diǎn)，這些切點(diǎn)的軌跡就是MTPA（較大力矩比電流）控制點(diǎn)，因?yàn)樵谝欢ǖ碾娏鳂O限下，該切點(diǎn)是力矩較大的點(diǎn)。

同一個(gè)等力矩的曲線會(huì)和不同的 電壓橢圓相切 ，產(chǎn)生一系列的切點(diǎn)，這些切點(diǎn)的軌跡就是MFPT（較大轉(zhuǎn)速比力矩）控制點(diǎn)，因?yàn)樵谝欢妷簶O限（電壓代表著速度）下，該切點(diǎn)是速度較大的點(diǎn)。

七、旋轉(zhuǎn)磁場是如何產(chǎn)生的

前面我們說了這么多，都有一個(gè)大前提： 電機(jī)要連續(xù)旋轉(zhuǎn) ，一定要有一個(gè)旋轉(zhuǎn)的磁場。那旋轉(zhuǎn)磁場從何而來？

說到這我們不得不提一個(gè)人—— 尼古拉·特斯拉，關(guān)于特斯拉，有很多傳說：

有人說，他預(yù)測出第一次、第二次世界大戰(zhàn)；

有人說，他預(yù)見了泰坦尼克號的沉沒；

有人說，他制造了通古斯大爆炸，威力是廣島核彈的1000倍；

有人說，他可以利用電磁，穿越時(shí)空；

有人說，F(xiàn)BI將他的照片掛在機(jī)密大樓的頭號位置。

......

《世界華人周刊》

2003年，一個(gè)叫 馬斯克的科技狂人，創(chuàng)辦了一家很酷的電動(dòng)汽車企業(yè)，取名特斯拉。正是為了致敬他的偶像： 尼古拉·特斯拉。今天我們就從一個(gè)小角度，來窺探一下特斯拉的偉大之處——交流電。

一個(gè)典型的永磁同步電機(jī)的繞組如上圖所示，3相繞組在空間120°電角度布置，繞組里面分別通相位相差120°的三相交流電：

那繞組中產(chǎn)生的磁動(dòng)勢是什么樣子呢？

化簡一下：

如果你還沒看出來，我們用圖像來演示一下前面的推理過程，可能會(huì)更形象一些：

也就是說，磁動(dòng)勢變成了一個(gè)旋轉(zhuǎn)的矢量！

如果把坐標(biāo)系放在電機(jī)里面，大概是這個(gè)樣子：

好了，現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)的磁場已經(jīng)產(chǎn)生了，它的表達(dá)式是這樣：

那么新的問題來了，大多數(shù)人數(shù)學(xué)不好啊，不會(huì)復(fù)數(shù)計(jì)算啊，怎么辦？這時(shí)候大神歐拉來了，用我的公式啊——好用，較主要還是免費(fèi)的：

合成磁動(dòng)勢是一個(gè)復(fù)數(shù)，我們可以用歐拉公式轉(zhuǎn)換一下：

也就說合成磁動(dòng)勢可以由兩個(gè)空間和相位都差90°的諧波組成。

整理一下思路：我們有一個(gè)三相繞組，空間和相位都差120°，合成起來是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢，公式簡潔漂亮，可是不好計(jì)算。我們用歐拉公式轉(zhuǎn)換一下，發(fā)現(xiàn)用一個(gè)空間和相位都差90°的亮相繞組可以完美等效,這就是 Clark變換。

好了，現(xiàn)在我們有一個(gè)旋轉(zhuǎn)的磁場了，也知道怎么等效計(jì)算了，但是感覺還是太復(fù)雜，我們能不能再偷點(diǎn)懶了？——如果我們站在一個(gè)坐標(biāo)系里面，這個(gè)坐標(biāo)系也在旋轉(zhuǎn)，而且旋轉(zhuǎn)的速度和合成磁動(dòng)勢一樣，這時(shí)候再去觀察磁動(dòng)勢，會(huì)是什么樣？——一個(gè)常量，這就是 Park變換。

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